Kontakto (matematiko)

En matematiko, kontakto de ordo k de funkcioj estas ekvivalentrilato, respektiva al havo de la sama valoro je punkto P kaj ankaŭ de la samaj derivaĵoj tie, supren ĝis ordo k. La ekvivalentklasoj estas ĝenerale nomata kiel gagatoj.

Kontakto inter kurboj

Kontakto de ordo k inter kurboj aŭ la aliaj geometriaj objektoj je donita punkto estas ĝeneraligo de propraĵo de tanĝanteco.

Du kurboj en la ebeno sekcantaj je punkto p havas:

• 1-punktan kontakton se la kurboj havas simplan krucadon (ne tanĝantaj);
• 2-punktan kontakton se la du kurboj estas tanĝantaj;
• 3-punktan kontakton se la kurbecoj de la kurboj estas egalaj, ĉi tiaj kurboj estas nomataj kiel kisantaj.
• 4-punktan kontakton se la derivaĵoj de la kurbecoj estas egalaj;
• 5-punktan kontakton se la unuaj kaj la dua derivaĵoj de la kurbecoj estas egalaj.

Kontakto inter kurbo kaj cirklo

Por glata ebena kurbo S por ĉiu punkto, S(t) sur la kurbo estas akurate unu kurbecocirklo kiu havas radiuson 1/κ(t) kie κ(t) estas la kurbeco de la kurbo je t. Se la kurbo havas nulan kurbecon (kio estas trafleksa punkto sur la kurbo) tiam la kurbecocirklo degeneriĝas en rekton. La aro de la centroj de ĉiuj kurbecocirkloj formas evoluton de la kurbo.

Se la derivaĵo de kurbeco κ'(t) estas nulo, tiam la kurbecocirklo havas 4-punktan kontakton kaj oni tiam diras ke la kurbo havas verticon en la punkto. La evoluto havas kuspon je la centro de ĉi tiu kurbecocirklo. La signo de la dua derivaĵo de kurbeco difinas ĉu la kurbo havas lokan minimumon aŭ lokan maksimumon de kurbeco. Laŭ la kvar-vertica teoremo, ĉiu fermita kurbo havas minimume kvar verticojn, du minimumojn kaj du maksimumojn de kurbeco.

Ĝenerale kurbo povas havi neniun 5-punktan kontakton kun cirklo. Tamen, 5-punkta kontakto povas okazi ĝenerale en 1-parametra familio de kurboj, kiam du verticoj (unu maksimumo kaj unu minimumo) kuniĝas kaj anihilacias. Je ĉi tiaj punktoj la dua derivaĵo de kurbeco estas nulo.

Du-tanĝantoj

Ankaŭ eblas konsideri cirklojn kiuj havas 2-punktajn kontaktojn kun du punktoj de kurbo S(t₁) kaj S(t₂). Ĉi tiaj cirkloj estas du-tanĝantaj cirkloj. Centroj de ĉiuj du-tanĝantaj cirkloj formas simetrian aron. La meza akso estas subaro de la simetria aro. Ĉi tiuj aroj estas uzataj kiel maniero de karakterigado de geometriaj formoj de biologiaj objektoj.

Kontakto inter duktoj

Kontakto inter duktoj estas studata en specialaĵa teorio kaj la speco de la kontakto estas klasifikata. Simile al kontaktoj de kurboj, ĉi tiuj inkluzivas la A serion (A₀: krucanta, A₁: tanĝanta, A₂: kisanta, ...) kaj la D-serion kie estas alta grado de kontakto kun la sfero.